Método de los determinantes o regla de Cramer
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones con 3 incógnitas
(3X3)
a.- 6 X + Y – 8 Z = -27
b.- 4 X – 3 Y +
2 Z = 4
c.- 2 X + 4 Y –
6 Z = -15
Para comenzar debemos asegurarnos de que las ecuaciones
tengas esta forma; ax+by+cz=d (Las incógnitas deben de ir: x,y,z), de lo
contrario debemos ordenar los términos.
Comenzamos calculando el determinante del sistema (Δs o
Det A)
a.- 6 + 1 –
8 = -27
b.- 4 – 3 +
2 = 4
c.- 2 + 4 –
6 = -15
Separamos la matriz. Vamos a utilizar solo los coeficientes
de las incógnitas (los números)
X Y
Z Términos
independientes (T.I.)
6 + 1 – 8 -27
A 4 –
3 + 2 B 4
2 +
4 – 6
-15
Calculamos la determinante de A utilizando la regla de
Sarrus, repetimos las dos primeras filas y multiplicando en diagonal de
izquierda a derecha las tres primeras filas y lo repetimos de derecha a izquierda.
X
Y Z
|6
+ 1 – 8|
Det A
|4 – 3 + 2| =((6*-3*-6)+(4*4*-8)+(2*1*2))
– ((-8*-3*2)+(2*4*6)+(-6*1*4))=
|2
+ 4 – 6|
=(108-128+4)-(48+48-24)= -16-72=-88
|6 + 1 – 8|
|4 – 3 + 2|
Posteriormente calculamos el determinante para X (vamos a
utilizar regla de Sarrus, pero de forma horizontal PUEDES USAR LA QUE MAS TE
GUSTE; VERTICAL U HORIZONTAL) , en el lugar donde están todos los valores que
tienen X vamos a colocar la columna de términos independientes, de la siguiente
manera:
T.I Y Z
T.I. Y
|-27 1 – 8 -27 1 |
Det X
| 4 – 3 2 4 –
3|
|-15 4 – 6
-15
4|
=((-27*-3*-6)+(1*2*-15)+(-8*4*4))
– ((-8*-3*-15)+(-27*2*4)+(1*4*-6))=
=(-486-30-128)-(-360-216-24)=
-644+600=-44
Posteriormente calculamos el determinante para Y, en el
lugar donde están todos los valores que tienen Y vamos a colocar la columna de
términos independientes, de la siguiente manera:
X T.I.
Z
|6 -27 – 8 |
Det Y
|4 4 2 | =((6*4*-6)+(4*-15*-8)+(2*-27*2))-((-8*4*2)+(2*-15*6)+(-6*-27*4))=
|2 -15 – 6 | =(-144+480-108)-(-64-180+648)= 228-404=-176
|6 -27 – 8 |
|4 4 2 |
Posteriormente calculamos el determinante para Z, en el
lugar donde están todos los valores que tienen Z vamos a colocar la columna de
términos independientes, de la siguiente manera:
X Y T.I. X Y
| 6 1 – 27 6 1|
Det Z
| 4 –
3 4 4 -3|
| 2 4 – 15 2 4
|
=((6*-3*-15)+(1*4*2)+(-27*4*4))
– ((-27*-3*2)+(6*4*4)+(1*4*-15))=
=(270+8-432)-(162+96-60)=
-154-198=-352
Para calcular el valor de la variable, dividimos el valor
de la determinante de la variable entre el valor del determinante del sistema.
Det A=8
Det X=-44 Por lo tanto
X= Det X/Det A = -44/-88=0.5 X= 0.5
Det Y=-176 Por lo
tanto Y= Det Y/Det A = -176/-88=2 Y= 2
Det Z=-352 Por lo tanto
Z= Det Z/Det A = -352/-88=-4 Z -4
Sustituyendo
a.- 6 X + Y – 8 Z = -27
b.- 4 X – 3 Y +
2 Z = 4
c.- 2 X + 4 Y –
6 Z = -15
a.- 6 (0.5) + (2)
– 8 (4) = -27
3+2-32=-27
b.- 4 (0.5) – 3 (2)
+ 2 (4) = 4
2-6+8=4
c.- 2 (0.5) + 4 (2)
– 6 (4) = -15
1+8-24=-15