Sistema de ecuaciones de 3 x 3

Método de los determinantes o regla de Cramer 

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones con 3 incógnitas (3X3)

a.-    6 X +    Y – 8 Z = -27

b.-    4 X – 3 Y + 2 Z = 4

c.-    2 X + 4 Y – 6 Z = -15

Para comenzar debemos asegurarnos de que las ecuaciones tengas esta forma; ax+by+cz=d (Las incógnitas deben de ir: x,y,z), de lo contrario debemos ordenar los términos.

Comenzamos calculando el determinante del sistema (Δs o Det A)

a.-    6  + 1  – 8  = -27

b.-    4  – 3  + 2  = 4

c.-    2  + 4  – 6  = -15

Separamos la matriz. Vamos a utilizar solo los coeficientes de las incógnitas (los números)

                X     Y     Z                       Términos independientes (T.I.)

                 6  + 1  – 8                       -27

       A       4  – 3  + 2                B      4

                 2  + 4  – 6                        -15

Calculamos la determinante de A utilizando la regla de Sarrus, repetimos las dos primeras filas y multiplicando en diagonal de izquierda a derecha las tres primeras filas y lo repetimos de derecha  a  izquierda.

                 X     Y    Z

                 |6  + 1  – 8|                       

  Det A     |4  – 3  + 2|       =((6*-3*-6)+(4*4*-8)+(2*1*2)) – ((-8*-3*2)+(2*4*6)+(-6*1*4))=     

                 |2  + 4  – 6|      =(108-128+4)-(48+48-24)= -16-72=-88

                 |6  + 1  – 8|     

                 |4  – 3  + 2|                     

Posteriormente calculamos el determinante para X (vamos a utilizar regla de Sarrus, pero de forma horizontal PUEDES USAR LA QUE MAS TE GUSTE; VERTICAL U HORIZONTAL) , en el lugar donde están todos los valores que tienen X vamos a colocar la columna de términos independientes, de la siguiente manera:

                T.I        Y         Z       T.I.       Y

                 |-27        1     – 8     -27         1 |                       

  Det X     |  4       – 3        2      4         – 3|          

                 |-15        4      – 6      -15        4|     

=((-27*-3*-6)+(1*2*-15)+(-8*4*4)) – ((-8*-3*-15)+(-27*2*4)+(1*4*-6))=     

=(-486-30-128)-(-360-216-24)= -644+600=-44

Posteriormente calculamos el determinante para Y, en el lugar donde están todos los valores que tienen Y vamos a colocar la columna de términos independientes, de la siguiente manera:

                  X      T.I.    Z

                 |6   -27    – 8    |                       

  Det Y     |4       4       2    |    =((6*4*-6)+(4*-15*-8)+(2*-27*2))-((-8*4*2)+(2*-15*6)+(-6*-27*4))=     

                 |2    -15    – 6   |      =(-144+480-108)-(-64-180+648)= 228-404=-176

                 |6   -27    – 8    |                       

                 |4       4       2    |

Posteriormente calculamos el determinante para Z, en el lugar donde están todos los valores que tienen Z vamos a colocar la columna de términos independientes, de la siguiente manera:

                  X         Y       T.I.     X      Y

                 |   6        1      – 27     6       1|                        

  Det Z     |   4      – 3        4       4      -3|          

                 |   2        4      – 15     2      4 |     

=((6*-3*-15)+(1*4*2)+(-27*4*4)) – ((-27*-3*2)+(6*4*4)+(1*4*-15))=     

=(270+8-432)-(162+96-60)= -154-198=-352

Para calcular el valor de la variable, dividimos el valor de la determinante de la variable entre el valor del determinante del sistema.

Det A=8    

Det X=-44     Por lo tanto  X= Det X/Det A =   -44/-88=0.5                X= 0.5

Det Y=-176   Por lo tanto  Y= Det Y/Det A =  -176/-88=2                  Y= 2

Det Z=-352    Por lo tanto  Z= Det Z/Det A = -352/-88=-4                  Z -4

Sustituyendo

a.-    6 X +    Y – 8 Z = -27

b.-    4 X – 3 Y + 2 Z = 4

c.-    2 X + 4 Y – 6 Z = -15

a.-    6 (0.5) + (2) – 8 (4) = -27

           3+2-32=-27

b.-    4 (0.5) – 3 (2) + 2 (4) = 4

                2-6+8=4

      

c.-    2 (0.5) + 4 (2) – 6 (4) = -15

                1+8-24=-15